Question

18．已知函數(shù)f（x）=x-ax²-lnx（a＞0）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，證明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）表示出f（x₁）+f（x₂）=lna+$\frac{1}{4a}$+ln2+1，通過求導(dǎo)進行證明．

解答 解：（1）∵f′（x）=-$\frac{2{ax}^{2}-x+1}{x}$，（x＞0，a＞0），
不妨設(shè)φ（x）=2ax²-x+1（x＞0，a＞0），
則關(guān)于x的方程2ax²-x+1=0的判別式△=1-8a，
當(dāng)a≥$\frac{1}{8}$時，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{8}$時，△＞0，方程f′（x）=0有兩個不相等的正根x₁，x₂，
不妨設(shè)x₁＜x₂，則當(dāng)x∈（0，x₁）及x∈（x₂，+∞）時f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）遞減，在（x₁，x₂）遞增；
（2）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)a∈（0，$\frac{1}{8}$）時f（x）有極小值x₁ 和極大值x₂，
且x₁，x₂是方程的兩個正根，則x₁+x₂=$\frac{1}{2a}$，x₁ x₂=$\frac{1}{2a}$，
∴f（x₁）+f（x₂）=（x₁+x₂）-a[（x1+x2）2-2x₁ x₂]-（lnx₁+lnx₂）
=ln（2a）+$\frac{1}{4a}$+1=lna+$\frac{1}{4a}$+ln2+1（0＜a＜$\frac{1}{8}$），
令g（a）=lna+$\frac{1}{4a}$+ln2+1，
當(dāng)a∈（0，$\frac{1}{8}$）時，g′（a）=$\frac{4a-1}{{4a}^{2}}$＜0，
∴g（a）在（0，$\frac{1}{8}$）內(nèi)單調(diào)遞減，
故g（a）＞g（$\frac{1}{8}$）=3-2ln2，
∴f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．