Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{$\frac{3}{a_n}$}的前n項(xiàng)，證明：1≤T_n＜$\frac{5}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算可知a_n=2a_n-1-1，進(jìn)而可構(gòu)造首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列{a_n-1}，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）放縮可知$\frac{3}{a_n}$＜$\frac{3}{{2}^{n}}$，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵S_n=2a_n+n-4，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n+n-4）-（2a_n-1+n-5），即a_n=2a_n-1-1，
變形，得：a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2ⁿ，即a_n=1+2ⁿ；
（2）證明：由（1）可知：$\frac{3}{a_n}$=$\frac{3}{1+{2}^{n}}$＜$\frac{3}{{2}^{n}}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n＜1+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{3}{{2}^{n}}$=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{{2}^{n}}$＜$\frac{5}{2}$，
又∵T_n≥T₁=1，
∴1≤T_n＜$\frac{5}{2}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．