Question

f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，則b的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，-1）

B．（-1，+∞）

C．（-∞，-1]

D．[-1，+∞）

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的定義域，要使原函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)恒小于等于0，原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的分母恒大于0，
只需分析分子的二次三項(xiàng)式恒大于等于0即可，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，且對(duì)稱(chēng)軸在定義域范圍內(nèi)，所以二次三項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，只有其對(duì)應(yīng)二次方程的判別式小于等于0時(shí)導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0，由此解得b的取值范圍．

解答：解：由x+2＞0，得x＞-2，所以函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2）的定義域?yàn)椋?2，+∞），
再由f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2），得：f′(x)=-x+

b

x+2

=-

x2+2x-b

x+2

，
要使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則f′（x）在（-1，+∞）上恒小于等于0，
因?yàn)閤+2＞0，
令g（x）=x²+2x-b，則g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0，
函數(shù)g（x）開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，
所以只有當(dāng)△=2²+4×b≤0，即b≤-1時(shí)，g（x）≥0恒成立．
所以，使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)的b的取值范圍是（-∞，-1]．
故答案為：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)減，說(shuō)明函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)恒小于等于0．此題是中檔題．