Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

2

，P是橢圓上一點(diǎn)，且△PF₁F₂面積的最大值等于2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（0，2）作直線l與直線MF₂垂直，試判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系．
（Ⅲ）直線y=2上是否存在點(diǎn)Q，使得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）通過(guò)橢圓性質(zhì)列出a，b，c的方程，其中離心率e=

c

a

，分析圖形知道當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，△PF1F2 面積取最大值，從而建立關(guān)于a，b，c的方程，解出a²，b²，c²，即求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）列出過(guò)定點(diǎn)直線的方程，其與直線MF₂垂直，求出其斜率，聯(lián)立橢圓方程，得出△=0，判斷出直線l與橢圓的位置關(guān)系．
（Ⅲ）對(duì)于存在性問(wèn)題，要先假設(shè)存在，先設(shè)切線y=k（x-m）+2，與橢圓聯(lián)立，利用△=0，得出關(guān)于斜率k的方程，利用兩根之積公式k₁k₂=-1，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P在橢圓上，∴-b≤y_p≤b，
∴當(dāng)|y_p|=b時(shí)，△PF₁F₂面積最大，
且最大值為

1

2

|F1F2||yp|=

1

2

•2c•b=bc=2，
又∵e=

c

a

=

2

2

，
∴a²=4，b²=c²=2，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（

2

，0），
∴kMF1=-

2

2

=-

2

，
∴直線l的斜率kl=

2

2

，直線l的方程

2

2

x+2，
由

x2 4 + y2 2 =1 y= 2 2 x+2

，消去y，整理，得：
x2+2

2

x+2=0，△=(2

2

)2-8=0，
∴直線l與橢圓相切．
（Ⅲ）假設(shè)直線y=2上存在點(diǎn)Q滿足題意，
設(shè)Q（m，2），當(dāng)m=±2時(shí)，從Q點(diǎn)所引的兩條切線不垂直．
當(dāng)m≠±2時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)Q向橢圓所引的切線的斜率為k，則l的方程為y=k（x-m）+2，
由

y=k(x-m)+2 x2 4 + y2 2 =1

，消去y，整理得：
（1+2k²）x²-4k（mk-2）x+2（mk-2）²-4=0，
∵△=16k²（mk-2）²-4（1+2k²）[2（mk-2）²-4]=0，
∴（m²-4）k²-4mk+2=0，*
設(shè)兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁，k₂是方程（m²-4）k²-4mk+2=0的兩個(gè)根，
∴k₁k₂=

2

m2-4

=-1，
解得m=±

2

，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（

2

，2），或（-

2

，2）．
∴直線y=2上兩點(diǎn)（

2

，2），（-

2

，2）滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，此題較難，分類討論要全面．