Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且$\frac{c}{a+b}$=$\frac{cosC}{cosA+cosB}$．
（1）求C；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）使用正弦定理將邊化角化簡(jiǎn)，使用兩角和差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，得出A-C=C-B，從而求出
（2）利用正弦定理用A表示出a，b，使用三角函數(shù)的恒等變換將a²+b²表示為關(guān)于A的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和A的范圍求出最值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{c}{a+b}=\frac{sinC}{sinA+sinB}=\frac{cosC}{cosA+cosB}$，
∴sinAcosC+sinBcosC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sinAcosC-sinCcosA=sinCcosB-sinBcosC，即sin（A-C）=sin（C-B），
∴A-C=C-B，即A+B=2C，
又A+B+C=π，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
∴a=2sinA，b=2sinB=2sin（$\frac{2π}{3}-A$）=$\sqrt{3}$cosA+sinA，
∴a²+b²=4sin²A+3cos²A+sin²A+2$\sqrt{3}$sinAcosA=5sin²A+3cos²A+$\sqrt{3}$sin2A=3+2sin²A+$\sqrt{3}$sin2A
=4-cos2A+$\sqrt{3}$sin2A=4+2sin（2A-$\frac{π}{6}$）．
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$．
∴當(dāng)2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，a²+b²取得最大值4+2=6，
當(dāng)2A-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$時(shí)，a²+b²取得最小值4-1=3．
∴a²+b²的取值范圍是（3，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．