Question

18．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別a、b、c，且滿足b²+c²-a²=bc，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則邊b的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 利用已知代入到余弦定理中求得cosA的值，進而求得A，利用平面向量的運算可得B的范圍，利用正弦定理即可得解b的取值范圍．

解答 解：在△ABC中，∵b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A是三角形內(nèi)角，
∴A=60°，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos（π-B）＞0，
∴B是鈍角．
∴90°＜B＜120°，可得：sinB∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
又∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由正弦定理可得b=$\frac{a•sinB}{sinA}$=sinB∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量在解三角形中的應用．注意余弦定理的變形式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．