Question

16．設x，y，z是大于0的實數(shù)，則$\frac{xy+yz+zx}{6{x}^{2}+6{y}^{2}+6{z}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 首先利用均值不等式，得到x²+y²+z²≥xy+xz+yz，進而根據(jù)不等式的基本性質，得到答案．

解答 解：∵（x-y）²+（x-z）²+（y-z）²≥0，
∴2（x²+y²+z²）≥2（xy+xz+yz），
∴x²+y²+z²≥xy+xz+yz，
∴$\frac{xy+yz+zx}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$≤1，
∴$\frac{xy+yz+zx}{6{x}^{2}+6{y}^{2}+6{z}^{2}}$≤$\frac{1}{6}$，
故$\frac{xy+yz+zx}{6{x}^{2}+6{y}^{2}+6{z}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{6}$
故答案為：$\frac{1}{6}$

點評 本題主要考查了基本不等式的應用．基本不等式是解決多項式和函數(shù)的最值問題的常用方法，平時應熟練掌握．