Question

如圖所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長是2，側(cè)棱長是

3

，D是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)AB₁與A₁B相交于點(diǎn)P，連接PD，則PD∥B₁C．由此能證明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）法一：由已知得BD⊥AC，BD⊥A₁D，∠A₁DA為二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的大小．
（Ⅱ）法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-A的大小．
（Ⅲ）平面A₁BD的法向量

n

=（-

3

，0，1）

AB1

=（-1，

3

，

3

），由此利用向量法能求出直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)AB₁與A₁B相交于點(diǎn)P，連接PD，
則P為AB₁中點(diǎn)，∵D為AC中點(diǎn)，∴PD∥B₁C．
又∵PD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中點(diǎn)，
知BD⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁D，
故∠A₁DA為二面角A₁-BD-A的平面角，
又AD⊥A₁A，A₁A=

3

，AD=1，
∴∠A₁DA=60°，即二面角A₁-BD-A的大小為60°．…（8分）
（Ⅱ）解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，0，

3

），
B（0，

3

，0），B₁（0，

3

，

3

），
∴

A1B

=（-1，

3

，-

3

），

A1D

=（-1，0，-

3

），
設(shè)平面A₁BD的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n

•

A1B

=-x+

3

y-

3

z=0，

n

•

A1D

=-x-

3

z=0
則有

x=- 3 z y=0

，令z=1，得

n

=（-

3

，0，1）
由題意，知

AA1

=（0，0，

3

）是平面ABD的一個(gè)法向量．
設(shè)面角A₁-BD-A的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

AA1

＞|=

1

2

，∴θ=

π

3

，
∴二面角A₁-BD-A的大小是

π

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：∵平面A₁BD的法向量

n

=（-

3

，0，1）

AB1

=（-1，

3

，

3

），
設(shè)直線AB₁與平面A₁BD所成的角為α，
則sinα=|cos＜

AB1

，

n

＞|=|

3 + 3

4 • 7

|=

21

7

，
∴直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．