Question

18．定義$\frac{n}{{P}_{1}+{P}_{2}+…+{P}_{n}}$為n個正數P₁，P₂…P_n的“均倒數”，若已知正整數數列{a_n}的前n項的“均倒數”為$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{10}_{11}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{11}$
• B． $\frac{1}{12}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{11}{12}$

Answer 1

分析 $\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，可得a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1），利用遞推關系可得a_n=4n-1．可得b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n.$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．再利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：∵$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1），
∴n≥2時，a_n=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1．
n=1時，a₁=3，對于上式也成立．
∴a_n=4n-1．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n．
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{10}_{11}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故選：C．

點評 本題考查了數列遞推關系、裂項求和方法、新定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．