Question

10．若實(shí)數(shù)x，y滿足4x²+2x+y²+y=0，則2x+y的范圍是[-2，0]．

Answer 1

分析 配方并三角換元可得2x+y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-$\frac{1}{2}$，由三角函數(shù)的值域求解方法可得．

解答 解：把已知式子配方可得（2x+$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ}\\{y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{4}cosθ-\frac{1}{4}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴2x+y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-$\frac{1}{2}$=sin（θ+$\frac{π}{4}$）-1，
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，∴-2≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）-1≤0，
∴2x+y的范圍為：[-2，0]，
故答案為：[-2，0]．

點(diǎn)評 本題考查不等式求式子的取值范圍，三角換元是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．