Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x，x∈R．求：
（Ⅰ） 函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先通過(guò)三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）進(jìn)一步利用三角函數(shù)的定義域求出正弦型函數(shù)的值域．

解答 解：（ I）函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x
=$sin2x-cos2x=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，x∈R
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）$
解得：$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ$，
所以：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：$[-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ]$（k∈Z）
（ II）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
所以：$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$
從而有：$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤1$，
故：$-1≤\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$
因此：函數(shù)f（x）的值域：$[-1，\sqrt{2}]$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用整體思想求正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，利用三角函數(shù)的定義域求正弦型函數(shù)的值域．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．