Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（ I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）將函數(shù)f（x）的圖象各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，然后向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得函數(shù)F（x）的圖象．若a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a+c=4，且F（B）=0，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移，得出函數(shù)F（x）的解析式，再利用余弦定理和基本不等式，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，即可求出b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
則kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{6}$）-1的圖象，
再向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）-1的圖象，
所以函數(shù)F（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-1；
又△ABC中，a+c=4，F(xiàn)（B）=0，
所以$B+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
所以$B=\frac{π}{3}$；
由余弦定理可知，
b²=a²+c²-2ac•cos$\frac{π}{3}$=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥16-3•${（\frac{a+c}{2}）}^{2}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取“=”，
所以b≥2；
又b＜a+c=4，
所以b的取值范圍是[2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了解三角形的應(yīng)用問題，是綜合性題目．