Question

8．P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的一點，F(xiàn)₁、F₂分別是焦點，如果∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的周長及面積．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由橢圓定義求解△F₁PF₂的周長，再由余弦定理求出|PF₁||PF₂|的值，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：如圖，

由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得a=5，b=4，c=3．
∴△F₁PF₂的周長為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=16，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：
$4{c}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos30°$
=$（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-\sqrt{3}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$=$4{a}^{2}-（2+\sqrt{3}）|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$，
∴$|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{4{a}^{2}-4{c}^{2}}{2+\sqrt{3}}=\frac{64}{2+\sqrt{3}}=64（2-\sqrt{3}）$．
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin30°$=$\frac{1}{2}×64（2-\sqrt{3}）×\frac{1}{2}=16（2-\sqrt{3}）$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查焦點三角形的解法，是中檔題．