Question

18．已知α、β是方程x²+x+a=0的兩個實數(shù)根．
（1）求a的取值范圍
（2）試用a表示|α|+|β|．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有兩個實數(shù)根，所以判別式大于0，即可求a的取值范圍；
（2）由韋達定理α+β=-1，αβ=a，分類討論，即可用a表示|α|+|β|．

解答 解：（1）因為有兩個實數(shù)根，所以判別式大于等于0，也就是1-4a≥0，所以a≤$\frac{1}{4}$．
（2）由韋達定理α+β=-1，αβ=a．
分類討論：①a＞0的情況，此時αβ同號，因此|α|+|β|=|α+β|=1；
②a=0的情況，此時α、β其一為0，另一為-1，所以|α|+|β|還是1；
③a＜0的情況，此時α、β異號，|α|+|β|=|α-β|平方一下，
得到|α-β|²=α²-2αβ+β²=α²+2αβ+β²-4αβ=（α+β）²-4αβ=（-1）²-4a=1-4a，
所以|α|+|β|=|α-β|=$\sqrt{1-4a}$，
綜上，若$\frac{1}{4}$≥a≥0，則|α|+|β|=1；若a＜0，則|α|+|β|=$\sqrt{1-4a}$．

點評 本題考查方程根的討論，考查韋達定理的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．