Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax）+x²-ax（a為常數(shù)，a＞0）．
（1）若x=$\frac{1}{2}$是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）已知函數(shù)g（x）=x²-x+$\frac{7}{4}$-a，當(dāng)a∈（0，1）時．存在x₁，x₂∈[0，1]使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（$\frac{1}{2}$）=0，求出a的值檢驗即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為x₁，x₂∈[0，1]時，f（x）_max≥g（x）_max，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出f（x），g（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$+2x-a，
若x=$\frac{1}{2}$是函數(shù)f（x）的一個極值點，
則f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2a}{a+2}$-a+1=0，解得：a=2或a=-1，
又a＞0，故a=2；
（2）存在x₁，x₂∈[0，1]使得f（x₁）≥g（x₂）成立，
則x₁，x₂∈[0，1]時，f（x）_max≥g（x）_max，
f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$+2x-a=$\frac{x（2ax+2{-a}^{2}）}{1+ax}$，
∵a＞0，0≤x≤1，∴f′（x）≥0在[0，1]恒成立，
f（x）在[0，1]遞增，f（x）_max=f（1）=ln（1+a）+1-a，
而g（x）=x²-x+$\frac{7}{4}$-a的對稱軸是x=$\frac{1}{2}$，
故g（x）的最大值是f（0）=f（1）=$\frac{7}{4}$-a，
故ln（1+a）+1-a≥$\frac{7}{4}$-a，解得：a≥${e}^{\frac{3}{4}}$-1，
綜上：${e}^{\frac{3}{4}}$-1≤a＜1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．