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8.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)t,使得f(t+2)=f(t)+f(2).
(1)判斷f(x)=3x+2是否屬于集合M,并說明理由;
(2)若fx=lgax2+2屬于集合M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若f(x)=2x+bx2,求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)b,都有f(x)∈M.

分析 (1)利用f(x)=3x+2,通過f(t+2)=f(t)+f(2)推出方程無解,說明f(x)=3x+2不屬于集合M. �。�2)由fx=lgax2+2屬于集合M,推出lgax+22+2=lgax2+2+lga6有實(shí)解,即(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有實(shí)解,若a=6時(shí),若a≠6時(shí),利用判斷式求解即可.
(3)當(dāng)f(x)=2x+bx2時(shí),方程f(x+2)=f(x)+f(2)?3×2x+4bx-4=0,令g(x)=3×2x+4bx-4,則g(x)在R上的圖象是連續(xù)的,當(dāng)b≥0時(shí),當(dāng)b<0時(shí),判斷函數(shù)是否有零點(diǎn),證明對(duì)任意實(shí)數(shù)b,都有f(x)∈M.

解答 解:(1)當(dāng)f(x)=3x+2時(shí),方程f(t+2)=f(t)+f(2)?3t+8=3t+10…(2分)
此方程無解,所以不存在實(shí)數(shù)t,使得f(t+2)=f(t)+f(2),
故f(x)=3x+2不屬于集合M.            …(4分)
(2)由fx=lgax2+2屬于集合M,可得
方程lgax+22+2=lgax2+2+lga6有實(shí)解?a[(x+2)2+2]=6(x2+2)有實(shí)解?(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有實(shí)解,…(7分)
若a=6時(shí),上述方程有實(shí)解;
若a≠6時(shí),有△=16a2-24(a-6)(a-2)≥0,解得1263a12+63,
故所求a的取值范圍是[126312+63].       …(10分)
(3)當(dāng)f(x)=2x+bx2時(shí),方程f(x+2)=f(x)+f(2)?2x+2+b(x+2)2=2x+bx2+4+4b?3×2x+4bx-4=0,…(12分)
令g(x)=3×2x+4bx-4,則g(x)在R上的圖象是連續(xù)的,
當(dāng)b≥0時(shí),g(0)=-1<0,g(1)=2+4b>0,故g(x)在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)b<0時(shí),g(0)=-1<0,g1=3×210,故g(x)在10內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);
故對(duì)任意的實(shí)數(shù)b,g(x)在R上都有零點(diǎn),即方程f(x+2)=f(x)+f(2)總有解,
所以對(duì)任意實(shí)數(shù)b,都有f(x)∈M.                       …(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn)以及方程根的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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20.國家實(shí)施二孩放開政策后,為了了解人們對(duì)此政策持支持態(tài)度是否與年齡有關(guān),計(jì)生部門將已婚且育有一孩的居民分成中老年組(45歲以上,含45歲)和中青年組(45歲以下,不含45歲)兩個(gè)組別,每組各隨機(jī)調(diào)查了50人,對(duì)各組中持支持態(tài)度和不支持態(tài)度的人所占的頻率繪制成等高條形圖,如圖所示:
支持不支持合計(jì)
中老年組104050
中青年組252550
合 計(jì)3565100
(1)根據(jù)以上信息完成2×2列聯(lián)表;
(2)是否有99%以上的把握認(rèn)為人們對(duì)此政策持支持態(tài)度與年齡有關(guān)?
P(K2≥k00.0500.0100.001
k03.8416.63510.828
附:K2=nadbc2a+bc+da+cb+d

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17.某品牌電腦專賣店的年銷售量y與該年廣告費(fèi)用x有關(guān),如表收集了4組觀測(cè)數(shù)據(jù):
x(萬元)1456
y(百臺(tái))30406050
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(1)已知這兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系,試建立y與x之間的回歸方程ˆy=ˆbx+ˆa
(2)假如2017年該專賣店廣告費(fèi)用支出計(jì)劃為10萬元,請(qǐng)根據(jù)你得到的模型,預(yù)測(cè)這一年的銷售量y.
參考公式:ˆb=ni=1xi¯xyi¯yni=1xi¯x2=ni=1xiyin¯x¯yni=1xi2n¯x2,ˆa=¯yˆb¯x

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