Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PD=AD=DC=2AB，則異面直線PC與AB所成角的大小為$\frac{π}{4}$；直線PB與平面PDC所成角的正弦值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，設(shè)PD=AD=DC=2AB=2，求出$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），利用向量夾角公式求出異面直線PC與AB所成角；求出平面PDC的法向量，即可求出直線PB與平面PDC所成角的正弦值．

解答 解：以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系
設(shè)PD=AD=DC=2AB=2，則P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）
∴$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0）
設(shè)異面直線PC與AB所成角為θ
則cosθ=$\frac{2}{\sqrt{4+4}•1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$．
平面PDC的法向量為$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），
∵$\overrightarrow{PB}$=（2，1，-2），
∴直線PB與平面PDC所成角的正弦值為$\frac{4}{2•\sqrt{4+1+4}}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$，$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查異面直線PC與AB所成角、直線PB與平面PDC所成角的正弦值，考查向量法的運用，正確求向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵．