Question

11．設(shè)z₁、z₂是實(shí)系數(shù)方程z²+tz+t+3=0（t∈R）的兩個(gè)虛數(shù)根，復(fù)數(shù)α滿足αz₁+z₂=0．
（1）求復(fù)數(shù)α的模|α|；
（2）求證：α+$\frac{1}{α}$為實(shí)數(shù)，并求α+$\frac{1}{α}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的模的求解法則，共軛復(fù)數(shù)的模相等，化簡求解即可．
（2）利用（1）的表達(dá)式通過函數(shù)的單調(diào)性求出取值范圍即可．

解答 解：（1）復(fù)數(shù)α滿足αz₁+z₂=0，
可得：αz₁=-z₂，
|αz₁|=|-z₂|．
即|α||z₁|=|-z₂|．
因?yàn)閦₁、z₂是實(shí)系數(shù)方程z²+tz+t+3=0（t∈R）的兩個(gè)虛數(shù)根，所以|z₁|=|z₂|．
所以|α|=1．
（2）z₁、z₂是實(shí)系數(shù)方程z²+tz+t+3=0（t∈R）的兩個(gè)虛數(shù)根，
∴z₁+z₂=-t，z₁z₂=t+3，
又αz₁+z₂=0，可得α=$-\frac{{z}_{2}}{{z}_{1}}$，
∴α+$\frac{1}{α}$=$-\frac{{z}_{2}}{{z}_{1}}$$-\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=-$\frac{{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{1}}^{2}}{{z}_{1}{z}_{2}}$=-$\frac{{（z}_{2}+{{z}_{1}）}^{2}-4{z}_{1}{z}_{2}}{{z}_{1}{z}_{2}}$=-$\frac{{t}^{2}-4t-12}{t+3}$∈R．
由題意可知：△=t²-4t-12＜0．
可得：-2＜t＜6，t+3∈（1，9）
α+$\frac{1}{α}$=-$\frac{{t}^{2}-4t-12}{t+3}$=-[（t+3）+$\frac{1}{t+3}$-10]，令t+3=x，
∴α+$\frac{1}{α}$=-（x+$\frac{1}{x}$-10），因?yàn)閒（x）=x+$\frac{1}{x}$在x∈（1，9）上是增函數(shù)，
可得：f（x）∈（2，$\frac{82}{9}$）
∴α+$\frac{1}{α}$∈（$\frac{8}{9}$，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．