Question

10．如圖，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，CA=CB=1，∠ACB=90°，棱AA₁=2，如圖，以C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
（1）求平面A₁B₁C的法向量；
（2）求直線AC與平面A₁B₁C夾角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）求出平面中的兩個(gè)共點(diǎn)向量，利用數(shù)量積為0，求出平面A₁B₁C的法向量；
（2）求出$\overrightarrow{CA}=（1，0，0）$，利用向量的夾角公式求直線AC與平面A₁B₁C夾角的正弦值．

解答 解：（1）由題意可知C（0，0，0），A₁（1，0，2），B₁（0，1，2）
故$\overrightarrow{C{A_1}}=（1，0，2），\overrightarrow{C{B_1}}=（0，1，2）$…（3分）
設(shè)$\overrightarrow v=（{{x_0}，{y_0}，{z_0}}）$為平面A₁B₁C的法向量，則$\overrightarrow v•\overrightarrow{C{A_1}}=（{{x_0}，{y_0}，{z_0}}）（1，0，2）={x_0}+2{z_0}=0$，…（5分）$\overrightarrow v•\overrightarrow{C{B_1}}=（{{x_0}，{y_0}，{z_0}}）（0，1，2）={y_0}+2{z_0}=0$…（7分）
$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=-2{z_0}}\\{{y_0}=-2{z_0}}\end{array}}\right.$，令z₀=1，則$\overrightarrow v=（{-2，-2，1}）$…（9分）
（2）設(shè)直線AC與平面A₁B₁C夾角為θ，$\overrightarrow{CA}=（1，0，0）$…（10分）
sinθ=$\frac{|-2|}{1×\sqrt{4+4+1}}$=$\frac{2}{3}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查求平面的法向量，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．屬中檔題．正確運(yùn)用向量法是關(guān)鍵．