Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x-

π

6

）•cosx．
（1）若sin（α-

π

3

）=

2

3

，求f（α）的值；
（2）若將y=f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后，得到的圖象關(guān)于y軸對稱，求m的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對三角函數(shù)式進行恒等變換，下一步利用換元法和誘導公式進行變換，根據(jù)題中的已知條件進行求值．
（2）由（1）的部分結(jié)論，進一步變換成正弦型函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)整體思想求得對稱軸，最后確定最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x-

π

6

）cosx=

3

2

1

2

sin2x-

1

2

cos2x
=

1

2

(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)-

1

4

=

1

2

sin(2x-

π

6

)-

1

4

，
令α-

π

3

=β則α=β+

π

3

且sinβ=

2

3

，
則：f(α)=

1

2

sin(2α-

π

6

)-

1

4

=

1

2

sin(2β+

π

2

)-

1

4

=

1

2

(1-2sin2β)-

1

4

=

1

36

，
（2）∵f(x-m)=

1

2

sin(2x-2m-

π

6

)-

1

4

的圖象關(guān)于y軸對稱，
2m+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
所以m的最小值為：

π

6

．
故答案為：（1）f（α）=

1

36

；
（2）所以m的最小值為：

π

6

．

點評：本題考查的知識點：三換元法的應用，誘導公式的應用，正弦型函數(shù)的對稱軸及相關(guān)的運算．