Question

在△ABC中，AC=

2

，AB=

3

+1，∠BAC=45°，

BP

=（1-λ）

BA

+λ

BC

（λ＞0），AP=

2

2

（1）求

BA

•

AC

的值；
（2）求實數(shù)λ的值；
（3）若

BQ

=

1

4

BC

，AQ與BP交于點M，

AM

=μ

.

MQ

，求實數(shù)μ的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平面向量的基本定理及其意義

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用向量的數(shù)量積的定義，即可得到；
（2）向量共線的基本定理，化簡即可得到P為中點，進而得到所求值；
（3）運用向量共線的定理和三點共線的向量表示，設(shè)

BM

=t

MP

，得到

AM

的兩種形式，再由

AB

，

AC

不共線，得到兩個方程，解得即可得到所求值．

解答： 解：（1）

BA

•

AC

=-|

AB

|•|

AC

|•cos45°=-（

3

+1）×

2

×

2

2

=-

3

-1；
（2）由于

BP

=（1-λ）

BA

+λ

BC

（λ＞0），
則

BP

-

BA

=λ(

BC

-

BA

)，即有

AP

=λ

AC

，
即有P在線段AC上，
由于|

AP

|=

2

2

，即有P為中點，則λ=

1

2

；
（3）在△ABQ中，

AM

=μ

.

MQ

，
則有

AM

=

μ

1+μ

AQ

=

μ

1+μ

•

AB + 1 3 AC

1+ 1 3

=

μ

4(1+μ)

•（3

AB

+

AC

），
設(shè)

BM

=t

MP

，
則有

AM

=

AB +t AP

1+t

=

AB + 1 2 t AC

1+t

由于

AB

，

AC

不共線，
則有

3μ

4(1+μ)

=

1

1+t

且

μ

4(1+μ)

=

t

2(1+t)

，
解得，μ=4．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查平面向量基本定理，以及向量的共線的表示，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．