Question

從集合{0，1，2，3，4}中隨機(jī)取出兩個不同的數(shù)字分別作為點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，已知圓C：x²+y²=12．
（1）求點P在圓C內(nèi)的概率；
（2）若過在圓C內(nèi)的點P的直線l與圓C分別交于點M，N，當(dāng)原點到直線l的距離最大時，在圓C內(nèi)隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在△MON（O為原點）內(nèi)的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）本小題是古典概型問題，欲求出點P落在區(qū)域C：x²+y²＜12內(nèi)的概率，只須求出滿足：x²+y²＜12上的點P的坐標(biāo)有多少個，再將求得的值與整個點P的坐標(biāo)個數(shù)求比值即得．
（2）本小題是幾何概型問題，欲求豆子落在區(qū)域M上的概率，只須求出滿足：“豆子落在區(qū)域M上的概率”的區(qū)域的面積，再將求得的面積值與整個區(qū)域C的面積求比值即得．

解答： 解：（1）點P的坐標(biāo)有：
（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，0），（1，2），（1，3），（1，4），（2，0），（2，1），（2，3），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（3，4），（4，0）（4，1），（4，2），（4，3）共20種，
其中落在區(qū)域C：x²+y²＜12上的點P的坐標(biāo)有：
（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1）共10種．
故點P落在區(qū)域C：x²+y²＜12的概率為

10

20

=

1

2

．…（6分）
（2）由（1）可知，當(dāng)原點到直線l的距離最大時即點P的到圓心的距離最大的點為（3，1）或者（1，3），對應(yīng)的區(qū)域面積是高為

10

的等腰三角形，面積

1

2

×

10

×2

2

=2

5

在圓C內(nèi)隨機(jī)撒一粒豆子，對應(yīng)的區(qū)域面積為12π，則豆子落在△MON（O為原點）內(nèi)的概率為

2 5

12π

=

5

6π

．…（10分）

點評：本小題主要考查古典概型、幾何概型等基礎(chǔ)知識．古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結(jié)果是不是有限個，幾何概型的特點有下面兩個：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個．（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．