Question

【題目】2019年女排世界杯（第13屆女排世界杯）是由國際排聯(lián)舉辦的賽事，比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行，共有12支參賽隊(duì)伍.本次比賽啟用了新的排球用球_，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ（單位：）服從正態(tài)分布.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍.積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以或取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為中國隊(duì)和美國隊(duì)，中國隊(duì)積26分，美國隊(duì)積22分.第10輪中國隊(duì)對(duì)抗塞爾維亞隊(duì)，設(shè)每局比賽中國隊(duì)取勝的概率為.

（1）如果比賽準(zhǔn)備了1000個(gè)排球，估計(jì)質(zhì)量指標(biāo)在內(nèi)的排球個(gè)數(shù)（計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）

（2）第10輪比賽中，記中國隊(duì)取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為p的值，解決下列問題.

（i）在第10輪比賽中，中國隊(duì)所得積分為X，求X的分布列；

（ii）已知第10輪美國隊(duì)積3分，判斷中國隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，中國隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說明理由.

參考數(shù)據(jù)：，則，

，.

Answer 1

【答案】（1）477個(gè)；（2）；（i）見解析；（ii）能提前一輪奪得冠軍，.

【解析】

（1）由正態(tài)分布原則即可求出排球個(gè)數(shù)；

（2）根據(jù)二項(xiàng)分布先求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出取最大值時(shí)的值；根據(jù)比賽積分規(guī)則，得出中國隊(duì)得分可能的取值，然后求出其分布列；由的分布列分析即可得出能否提前一輪奪得冠軍并求得其概率.

解：∵，∴

所以質(zhì)量指標(biāo)在內(nèi)的排球個(gè)數(shù)約為個(gè)

（2），.

令，得.

當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù).

所以的最大值點(diǎn).從而.

的可能取值為.

，

，

，

，

的分布列為

	3	2	1	0

若，則中國隊(duì)10輪后的總積分為29分，美國隊(duì)即便第10輪和第11輪都積3分，則11輪過后的總積分是28分，，所以，中國隊(duì)如果第10輪積3分，則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.