Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為b=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為c_n=a_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）與S_n-1=$\frac{1}{2}$n（n-1）作差、整理得a_n=n（n≥2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（2）通過（1）、裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論；
（3）通過（1）可知c_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$n（n-1），
兩式相減得：a_n=n（n≥2），
又∵a₁=$\frac{1}{2}$×（1+1）=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）由（1）可知c_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴R_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$R_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
錯(cuò)位相減得：$\frac{1}{2}$R_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
整理得：R_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，裂項(xiàng)、并項(xiàng)相消法以及錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．