Question

16．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線x-y+2=0交橢圓于A、B兩點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）橢圓的焦點(diǎn)F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2$\sqrt{2}$，a=3，b²=a²-c²=9-8=1，即可求得橢圓的方程；
（2）由（1）可知，將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知x₁+x₂=-$\frac{18}{5}$，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{5}$，則y₀=x₀+2=$\frac{1}{5}$，即可求得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2$\sqrt{2}$，a=3，
b²=a²-c²=9-8=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消y整理得：10x²+36x+27=0，
由△=36²-4×10×27=216＞0，
∴直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)E（x₀，y₀），
則x₁+x₂=-$\frac{18}{5}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{5}$，y₀=x₀+2=$\frac{1}{5}$，
故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{9}{5}$，$\frac{1}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．