Question

8．若一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則該三棱錐外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{24π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由已知中幾何體的三視圖，畫出幾何體的直觀圖，進而求出幾何體的外接球的半徑，可得答案．

解答 解：觀察三視圖，可得直觀圖如圖所示．

該三棱錐ABCD的底面BCD是直角三角形，
AB⊥平面BCD，CD⊥BC，
側(cè)面ABC，ABD是直角三角形；
由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，
AD是三棱錐ABCD外接球的直徑，
AD²=AB²+BC²+CD²=4，
所以AD=2，
三棱錐ABCD外接球的體積$V=\frac{4}{3}π{R^3}=\frac{4π}{3}$，
故選B．

點評 本題考查的知識點是球的內(nèi)接多面體，球的體積和表面積，棱錐的三視圖，難度中檔．