Question

6．如圖已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0）．設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的最小值；
（2）設(shè)點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：丨OR丨•丨OS丨為定值．

Answer 1

分析 （1）T（-2，0）．點M與點N關(guān)于x軸對稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨設(shè)y₁＞0．由于點M在橢圓C上，${y}_{1}^{2}$=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，可得$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=$\frac{5}{4}（{x}_{1}+\frac{8}{5}）^{2}$-$\frac{1}{5}$，由于-2＜x₁＜2，可得$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$取得最小值．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則直線MP的方程為：y-y₀=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x₀），令y=0，得x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，同理：x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$，x_R•x_S=$\frac{{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$，又點M與點P在橢圓上，故${x}_{0}^{2}=4（1-{y}_{0}^{2}）$，${x}_{1}^{2}$=4$（1-{y}_{1}^{2}）$，代入丨OR丨•丨OS丨=|x_R•x_S|，化簡即可證明．

解答 （1）解：依題意，得a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，T（-2，0）．
點M與點N關(guān)于x軸對稱，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨設(shè)y₁＞0．
由于點M在橢圓C上，∴${y}_{1}^{2}$=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，（*）
$\overrightarrow{TM}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{TN}$=（x₁+2，-y₁），
∴$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=（x₁+2）²-${y}_{1}^{2}$
=$（{x}_{1}+2）^{2}-（1-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}）$=$\frac{5}{4}（{x}_{1}+\frac{8}{5}）^{2}$-$\frac{1}{5}$，
由于-2＜x₁＜2，
故當${x}_{1}=-\frac{8}{5}$時，$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$取得最小值為-$\frac{1}{5}$．
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），
則直線MP的方程為：y-y₀=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x₀），
令y=0，得x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，
同理：x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$，
故x_R•x_S=$\frac{{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$，（**）
又點M與點P在橢圓上，故${x}_{0}^{2}=4（1-{y}_{0}^{2}）$，${x}_{1}^{2}$=4$（1-{y}_{1}^{2}）$，
代入（**）式，得：x_R•x_S=$\frac{4（1-{y}_{1}^{2}）{y}_{0}^{2}-4（1-{y}_{0}^{2}）{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$=$\frac{4（{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}）}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$=4．
∴丨OR丨•丨OS丨=|x_R•x_S|=4為定值．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量坐標運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．