Question

設(shè)A，B為拋物線y²=2px（p＞0）上不同的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，則△OAB面積的最小值為（　�。�

• A、p²
• B、2p²
• C、4p²
• D、6p²

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設(shè)直線的方程為斜截式（有斜率時(shí)），代入拋物線，利用OA⊥OB找到k，b的關(guān)系，然后利用弦長公式將面積最后表示成k的函數(shù)，然后求其最值即可．最后求出沒斜率時(shí)的直線進(jìn)行比較得最終結(jié)果．

解答： 解：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+b．
由

y=kx+b y2=2px

消去y得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得△=（2kb-2p）²-4k²b²＞0，即kb＜

1

2

．
x1+x2=

2p-2kb

k2

，x1x2=

b2

k2

，
所以y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=

2bp

k

．
所以由OA⊥OB得

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

b2

k2

+

2pbk

k2

=0
所以b=-2pk，①代入直線方程得y=kx-2pk=k（x-2p），
所以直線l過定點(diǎn)（2p，0）．
再設(shè)直線l方程為x=my+2p，代入y²=2px得y²-2pmy-4p²=0，
所以y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-4p²，所以|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4m2p2+16p2

=

(4m2+16)p2

=

4m2+16

p，
所以S=

1

2

×2p2×

4m2+16

，
所以當(dāng)m=0時(shí)，S的最小值為4p²．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系中的弦長問題中的最值問題，一般先結(jié)合韋達(dá)定理將要求最值的量表示出來，然后利用函數(shù)思想或基本不等式求最值即可．