Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，且a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

an

2n-1

}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜6．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件建立關(guān)系式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，使用乘公比錯位相減法求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法求得結(jié)果

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
所以：a₂=a₁+d=a₁+2，a₄=a₁+3d=a₁+6
a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比數(shù)列．
所以：(a1+a2)2=2a1(a1+a4)
解得：a₁=1
所以：a_n=1+2（n-1）=2n-1
證明：（2）已知

an

2n-1

=

2n-1

2n-1

Sn=

1

20

+

3

21

+…+

2n-1

2n-1

①

1

2

Sn=

1

21

+

3

22

+…+

2n-1

2n

 ②
①-②得：

1

2

Sn=1+2(

1

21

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n

=3-(

4

2n

+

2n-1

2n

)=3-

2n+3

2n

所以：Sn=6-

2n+3

2n-1

由于n≥1
所以：

2n+3

2n-1

＞0
Sn=6-

2n+3

2n-1

＜6

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，錯位相減法的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用，屬于中等題型．