Question

4．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，其中AB⊥AC，SA⊥AC，SA=2，AB=AC=$\sqrt{2}$，若頂點S到BC邊中點的距離為$\sqrt{5}$，則球O的體積為$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

Answer 1

分析 取BC的中點D，連接AD，SD，證明SA⊥平面ABC，將三棱錐S-ABC擴充為長方體，三邊長為$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，求出對角線長，可得三棱錐S-ABC的外接球的半徑，即可求出球O的體積．

解答 解：取BC的中點D，連接AD，SD，則
∵AB⊥AC，AB=AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，∴AD=1
∵SA=2，頂點S到BC邊中點的距離為$\sqrt{5}$，
∴SA⊥AD，
∵SA⊥AC，AD∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC，
∵AB⊥AC，
∴三棱錐S-ABC可以擴充為長方體，三邊長為$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，
∴長方體是對角線長為$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴三棱錐S-ABC的外接球的半徑為$\sqrt{2}$，
∴球O的體積為$\frac{4}{3}π•（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

點評 本題考查球O的體積，考查學生的計算能力，三棱錐S-ABC擴充為長方體是關(guān)鍵．