Question

如圖，在直平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，A′C與底面ABCD所成角的大小為arctan2，M為A′A的中點．
（1）求四棱錐M-ABCD的體積；
（2）求異面直線BM與A′C所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AC，由底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，可得AC=2．由直平行六面體的性質(zhì)可得∠A′CA是A′C與底面ABCD所成角，利用tan∠A′CA=

A′A

AC

可得A′A=4．即可得出四棱錐M-ABCD的體積V=

1

3

•S菱形ABCD•EA．
（2）連接AC，BD，相交于點O，連接MO．則點O為AC的中點．利用三角形的中位線定理可得MO∥A′C．因此∠BMO或其補角為異面直線BM與A′C所成角．利用余弦定理可得：cos∠BMO=

BM2+OM2-BO2

2BM•OM

即可得出．

解答： 解：（1）連接AC，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，
∴AC=2．∵直平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，∴∠A′CA是A′C與底面ABCD所成角，
∵∠A′CA=arctan2，∴tan∠A′CA=

A′A

AC

=2，∴A′A=4．
∵M為A′A的中點，∴MA=2．底面菱形ABCD的面積S=2×2×sin60°=2

3

．
∴四棱錐M-ABCD的體積V=

1

3

•S菱形ABCD•EA=

1

3

×2

3

×2=

4 3

3

．
（2）連接AC，BD，相交于點O，連接MO．
則點O為AC的中點．
又∵M為A′A的中點，∴MO∥A′C．
∴∠BMO或其補角為異面直線BM與A′C所成角．
在△BMO中，BO=

3

，MO=

AO2+AM2

=

5

，BM=

AB2+MA2

=2

2

．
由余弦定理可得：cos∠BMO=

BM2+OM2-BO2

2BM•OM

=

10

4

．
∴異面直線BM與A′C所成角為arccos

10

4

．

點評：本題考查了直平行六面體的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、四棱錐的體積、異面直線所成的角、三角形的中位線定理、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．