12．已知如圖：四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2$\sqrt{3}$，EB=BC=2，點F為CE上一點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求三棱錐A-DBE的體積；
（3）求二面角D-BE-A的大�。�

分析 （1）連接AC交BD于G，連結GF，則G為AC的中點，推導出BF⊥CE，F(xiàn)G為△ACE的中位線，由此能證明AE∥平面BFD．
（2）推導出BF⊥AE，BC⊥AE，AD⊥平面ABE，從而AE⊥BE，由VA-DBE=VD-ABE，能求出三棱錐A-DBE的體積．
（3）由AE⊥BE，AD⊥BE，得到∠DEA是二面角D-BE-A的平面角，由此能求出二面角D-BE-A的大�。�

解答 證明：（1）連接AC交BD于G，連結GF，
∵ABCD是矩形，∴G為AC的中點，…1
由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，
由EB=BC知：點F為CE中點，…2分
∴FG為△ACE的中位線，
∴FG∥AE，…3分
∵AE?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．…4分
解：（2）由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE，
由BC⊥平面ABE及BC∥AD，得：BC⊥AE，AD⊥平面ABE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，則AE⊥BE，…6分
∴VA-DBE=VD-ABE=$\frac{1}{3}{S_{△ABE}}•AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×2=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
即三棱錐A-DBE的體積為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．…8分
（3）由（2）知：AE⊥BE，AD⊥BE，
∴BE⊥平面ADE，則BE⊥DE，
∴∠DEA是二面角D-BE-A的平面角，…10分
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{D^2}+A{E^2}}=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}$=4，
∴AD=$\frac{1}{2}$DE，則∠DEA=30°，
∴二面角D-BE-A的大小為30°． …12分．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．已知四面體A-ABD滿足下列條件：
（1）有一個面是邊長為1的等邊三角形；
（2）有兩個面是等腰直角三角形．
那么四面體A-BCD的體積的取值集合是（　�。�
A．{$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{12}$}B．{$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$}C．{$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{2}}{24}$}D．{$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{\sqrt{2}}{24}$}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{13}=1（{a＞0}）$與雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$有相同的焦點，則a的值為（　�。�
A．$\sqrt{19}$B．19C．25D．5

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知全集U=R，集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}，B={x|（x-a）（x-a2-2）＜0}．
（1）當$a=\frac{1}{2}$時，求（CuB）∩A．
（2）若A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．設函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$，則函數(shù)y=f（x）的值域是（　�。�
A．[-$\frac{1}{2}$，1]B．（0，1）C．（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）D．[0，$\frac{1}{2}$]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（2-x），0≤x＜k}\\{{x}^{3}-3{x}^{2}，k≤x≤a}\end{array}\right.$，若存在K使得函數(shù)的f（x）值域為[-1，1]，則實數(shù)a的取值范圍是[2，1+$\sqrt{3}$]．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．在平面直角坐標系xOy中，滿足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的點P（x，y）的集合對應的平面圖形的面積為$\frac{π}{4}$；類似的，在空間直角坐標系O-xyz中，滿足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的點P（x，y，z）的集合對應的空間幾何體的體積為（　�。�
A．$\frac{π}{8}$B．$\frac{π}{6}$C．$\frac{π}{4}$D．$\frac{π}{3}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

1．若2a=6，b=log23，則a-b=1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．補充完成化簡$\frac{sin（2π-α）cos（π+α）cos（\frac{π}{2}+α）cos（\frac{11π}{2}-α）}{cos（π-α）sin（3π+α）sin（-π-α）sin（\frac{9π}{2}+α）}$的過程．
解：∵sin（2π-α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，
cos （$\frac{π}{2}$+α）=-sinα，cos （$\frac{11}{2}$-α）=-sinα，
cos（π-α）=-cosα，sin（3π+α）=-sinα，
sin（-π-α）=sinα，sin （$\frac{9}{2}$+α）=cosα，
∴原式=tanα．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案