Question

設函數(shù)f（x）=x|2x-a|，g（x）=

x2-a

x-1

，a＞0
（1）當a=8時，求f（x）在區(qū)間[3，5]上的值域；
（2）若?t∈[3，5]，?x_i∈[3，5]（i=1，2）且x₁≠x₂，使f（x_i）=g（t），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用,函數(shù)的值域

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）寫出分段函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在區(qū)間[3，5]上的值域；
（2）先確定6＜a＜10或12＜a＜20，再分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=8時，f（x）=x|2x-a|=

-2x2+8x，x＜4 2x2-8x，x≥4

，
∴函數(shù)f（x）在[3，4]上遞減，在[4，5]上遞增，
∵f（3）=6，f（4）=0，f（5）=10，
∴f（x）在區(qū)間[3，5]上的值域為[0，10]；
（2）f（x）=x|2x-a|=

-2(x- a 4 )2+ a2 8 ，x＜ a 2 2(x- a 4 )2- a2 8 ，x≥ a 2

∵a＞0，
∴f（x）在（-∞，

a

4

]上遞增，在[

a

4

，

a

2

]上遞減，在[

a

2

，+∞）上遞增，
∴3＜

a

2

＜5或3＜

a

4

＜5，
∴6＜a＜10或12＜a＜20．
①6＜a＜10時，函數(shù)在[3，

a

2

]上遞減，在[

a

2

，5]上遞增，g（x）=

x2-a

x-1

在[3，5]上遞增，
由題意得?t∈[3，5]，關(guān)于x的方程f（x）=g（t）在[3，5]上至少有兩個不同的解等價于
g（3），g（5）]⊆（f（

a

2

），min{f（3），f（5）}，
即

g(3)＞f( a 2 ) g(5)≤f(3) g(5)≤f(5)

，

9-a 2 ＞0 25-a 4 ≤3(a-6) 25-a 4 ≤5(10-a)

，解得

97

13

≤a＜9；
②12＜a＜20時，g（3）=

9-a

2

＜0，而x∈[3，5]，f（x）≥0，方程f（x）=g（3）無解．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為

97

13

≤a＜9．

點評：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，難度大．