Question

如圖：點A，B是單位圓圓O上不同的兩點，設

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）求證：（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）；
（2）線段PQ以點O為中點，且|PQ|=2|AB|，若兩個向量k

a

+

b

與

a

-k

b

的模相等（k≠0，k∈R），問

BP

與

AQ

的夾角θ取何值時，

BP

•

AQ

的值最大？并求這個最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）

OA

=a，

OB

=

b

，且|

a

|=|

b

|=1，由此能證明（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．
（2）由題意知(k

a

+

b

)2=(

a

-k

b

)2，OA⊥OB，由此推導出

BP

•

AQ

=(

OP

-

OB

)•(

OQ

-

OA

)=-2-2cosθ，從而得到當θ=π時，

BP

•

AQ

取得最大值為0．

解答： （1）證明：∵點A，B是單位圓上不同的兩點，
∴

OA

=a，

OB

=

b

，
∴|

a

|=|

b

|=1，
又∵(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=0，
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．
（2）解：∵兩個向量k

a

+

b

與

a

-k

b

的模相等，k≠0，k∈R，
∴(k

a

+

b

)2=(

a

-k

b

)2，
即k2

a

2+2k

a

•

b

+

b

2=

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2，
∵|

a

|=|

b

|=1，k≠0，k∈R，
∴

a

•

b

=0，∴OA⊥OB，
∴

OB

•

OA

=0，|PQ|=2|AB|=

2

，
∴線段PQ以點O為中點，即|

OP

|=|

OQ

|=

2

，
又

BP

=

OP

-

OB

，

AQ

=

OQ

-

OA

，

OP

=-

OQ

，
∴

BP

•

AQ

=(

OP

-

OB

)•(

OQ

-

OA

)
=

OP

•

OQ

-

OP

•

OA

-

OB

•

OQ

+

OB

•

OA

=-2-

OP

•

OA

-

OB

•

OQ

=-2+

OQ

•

OA

-

OB

•

OQ

=-2+

OQ

(

OA

-

OB

)
=-2+

OQ

•

BA

=-2-

OQ

•

AB

=-2-2cosθ，
∴當θ=π時，

BP

•

AQ

取得最大值為0．

點評：本題考查向量垂直的證明，考查向量的數量積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意單位圓的性質的靈活運用．