Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線(xiàn)C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²=

2

1+sin2θ

，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρ=

4

2 sinθ+cosθ

．
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線(xiàn)C₁與直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為曲線(xiàn)C₁上一動(dòng)點(diǎn)，求Q點(diǎn)到直線(xiàn)l距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)互化公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，Q(

2

cosθ，sinθ)，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出最小值．

解答： （Ⅰ）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，
曲線(xiàn)C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²=

2

1+sin2θ

，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρ=

4

2 sinθ+cosθ

，
根據(jù)ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
則C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+2y²=2，直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x+

2

y=4．
（Ⅱ）設(shè)Q(

2

cosθ，sinθ)，則點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離為
d=

| 2 sinθ+ 2 cosθ-4|

3

=

|2sin(θ+ π 4 )-4|

3

≥

2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)θ+

π

4

=2kπ+

π

2

，即θ=2kπ+

π

4

（k∈Z）時(shí)取等號(hào)．
∴Q點(diǎn)到直線(xiàn)l距離的最小值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)系中一般方程的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，題目難度不大；另外第二問(wèn)中對(duì)橢圓的參數(shù)方程也有考查，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題，即化成同一個(gè)角的三角函數(shù)并求出其最小值．