Question

已知=(c,0)(c＞0),=(m,n)(n∈R),| |的最小值為1,若動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件:①|(zhì)|=||(a＞c＞0);②=λ〔其中=(,t),λ≠0,t∈R〕;③動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,-1).

(1)求c的值.

(2)求曲線(xiàn)C的方程.

(3)是否存在方向向量為a₀=(1,k)(k≠0)的直線(xiàn)l,使l與曲線(xiàn)C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N,且||=||?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

解:(1)| |=,

當(dāng)n=時(shí),||_min==1,∴c=.                               

(2)由(1)知曲線(xiàn)C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,可設(shè)其方程為+=1(a＞b＞0),則有,解之,得故曲線(xiàn)C的方程為+y²=1.             

(3)假設(shè)存在方向向量為a₀=(1,k)(k≠0)的直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件,則可設(shè)l:y=kx+m(k≠0),由消去y得(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0.

∵Δ=(6km)²-4(1+3k²)(3m²-3)＞0,

∴m²＜3k²+1.                                                         ①

設(shè)x₁、x₂是方程的兩個(gè)實(shí)根,也是M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)的橫坐標(biāo),P(x₀,y₀)是AB中點(diǎn)坐標(biāo),

∴x₀==-,y₀=.

∵|BM|=|BN|,

∴BP⊥MN.

∴.

∴m=.                                                       ②

由①②得()²＜3k²+1,(3k²+1)(k²-1)＜0,∴k²-1＜0.

∵k≠0,

∴-1＜k＜0或0＜k＜1.

故存在k∈(-1,0)∪(0,1)使直線(xiàn)l與橢圓有兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N,且使|BM|=|BN|.