Question

10．已知a＞0，b＞0，記A=$\sqrt{a}$+$\sqrt$，B=a+b．
（1）求$\sqrt{2}$A-B的最大值；
（2）若ab=4，是否存在a，b，使得A+B=6？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）代入配方利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最大值；
（2）假設(shè)存在a，b，使得A+B=6，則$\left\{\begin{array}{l}{A+B=\sqrt{a}+\sqrt+a+b=6}\\{ab=4}\end{array}\right.$，令$\sqrt{a}$=x＞0，$\sqrt$=y＞0，化為$\left\{\begin{array}{l}{x+y+{x}^{2}+{y}^{2}=6}\\{xy=2}\end{array}\right.$，令x+y=t＞0，化為t²+t-10=0，判斷此方程是否有實數(shù)根即可得出．

解答 解：（1）$\sqrt{2}$A-B=$\sqrt{2}$$\sqrt{a}$+$\sqrt{2}$$\sqrt$-a-b=-$（\sqrt{a}-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$-$（\sqrt-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$+1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴$\sqrt{2}$A-B的最大值是1．
（2）假設(shè)存在a，b，使得A+B=6，則$\left\{\begin{array}{l}{A+B=\sqrt{a}+\sqrt+a+b=6}\\{ab=4}\end{array}\right.$，
令$\sqrt{a}$=x＞0，$\sqrt$=y＞0，化為$\left\{\begin{array}{l}{x+y+{x}^{2}+{y}^{2}=6}\\{xy=2}\end{array}\right.$，
令x+y=t＞0，化為t²+t-10=0，
∵△=1+40=41＞0，且t₁t₂=-10＜0．
∴上述方程有正實數(shù)根，
因此存在a，b，使得A+B=6，ab=4同時成立．

點評 本題考查了方程與不等式的解法、配方法、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．