Question

兩人輪流擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則，由另一個(gè)人投擲，則先投擲人獲勝的概率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等可能事件的概率,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：根據(jù)題意，首先由等可能事件的概率公式計(jì)算每次拋擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率，由對(duì)立事件的概率性質(zhì)，可得點(diǎn)數(shù)和小于等于6的概率；分別求出先投擲的人第一輪獲勝、第二輪獲勝…的概率，分析可得P₁、P₂、P₃、…P_n、…，組成以

7

12

首項(xiàng)，（

5

12

）²為公比的無(wú)窮等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合極限計(jì)算方法，計(jì)算可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，一次投擲兩顆，每顆骰子有6種情況，共有6×6=36種情況，
而點(diǎn)數(shù)之和大于6的情況有21種，則每次拋擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率為

21

36

=

7

12

，
則拋擲每次兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和小于等于6的概率為1-

7

12

=

5

12

；
若先投擲的人第一輪獲勝，其概率為P₁=

7

12

，
若先投擲的人第二輪獲勝，即第一輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于6，則其概率為P₂=（

5

12

）²×

7

12

，
若先投擲的人第三輪獲勝，即前兩輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于6，則其概率為P₃=（

5

12

）⁴×

7

12

，
若先投擲的人第四輪獲勝，即前三輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于6，則其概率為P₃=（

5

12

）⁶×

7

12

，
…
分析可得，若先投擲的人第n輪獲勝，其概率為P_n=（

5

12

）^2n-2×

7

12

，
P₁、P₂、P₃、…P_n、…，組成以

7

12

首項(xiàng)，（

5

12

）²為公比的無(wú)窮等比數(shù)列，
則先投擲的人獲勝的概率P₁+P₂+P₃+…+P_n+…=

7 12 [1-( 5 12 )2n]

1-( 5 12 )2

，
又由極限的性質(zhì)，可得P₁+P₂+P₃+…+P_n+…=

7 12

1-( 5 12 )2

=

12

17

；
故答案為

12

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率的計(jì)算，涉及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與極限的計(jì)算；關(guān)鍵是分類(lèi)分析、計(jì)算先投擲的人獲勝的情況，進(jìn)而由等比數(shù)列前n項(xiàng)公式計(jì)算．