Question

12．在如圖所示的多面體中，底面BCFE是梯形，EF∥BC，EF⊥EB，平面ABE與平面BCFE所成的角為直二面角，AD∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，AB=2$\sqrt{2}$，G為BC中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCFE；
（Ⅱ）求異面直線AE與CD所成角的正切；
（Ⅲ）求證：BD⊥EG．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由面面垂直的性質(zhì)得EF⊥平面ABE，由勾股定理得AE⊥BE，由此能證明AE⊥面BCFE．
（Ⅱ）由垂直得AE⊥EG，從而得到AG∥CD，進(jìn)而得到∠EAG是異面直線AE與CD所成的角，由此能求出異面直線AE與CD所成的角的正切值
（Ⅲ）過D作DH∥AE，交EF于H，由線面垂直得DH⊥GE，從而GE⊥平面BDH，由此能證明GE⊥BD．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面ABE⊥平面BCFE，交線為BE，EF⊥BE，
∴EF⊥平面ABE，
∵AE=BE=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AE²+BE²=AB²，∴AE⊥BE，
又∵BE∩EF=E，∴AE⊥面BCFE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AE⊥平面BCFE，
∵EG?平面BCFE，∴AE⊥EG，
又由已知得AD$\underset{∥}{=}$GC，連結(jié)AG，得平行四邊形ADCG，
∴AG∥CD，
∵∠EAG為銳角，∴∠EAG是異面直線AE與CD所成的角，
又∵BE=BG=2，∠EBG=90°，∴EG=2$\sqrt{2}$，∴tan$∠EAG=\sqrt{2}$，
∴異面直線AE與CD所成的角的正切值為$\sqrt{2}$．
（Ⅲ）證明：過D作DH∥AE，交EF于H，連結(jié)GH，BH，
∵AE⊥平面BCFE，∴DH⊥面BCFE，
∴DH⊥GE，
由（Ⅰ）（Ⅱ）知，四邊形BGHE為正方形，∴BH⊥GE，
又∵BH∩DH=H，∴GE⊥平面BDH，
∴GE⊥BD．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的正切值的求法，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運用．