Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=λS_n+1（n∈N*，λ≠-1），且a₁、2a₂、a₃+3成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，將n換為n-1，相減可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為λ+1的等比數(shù)列，再由等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得公比為2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求得${b_n}=n{a_n}=n•{2^{n-1}}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=λS_n+1（n∈N*），∴a_n=λS_n-1+1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=λa_n，即a_n+1=（λ+1）a_n（n≥2），λ+1≠0，
又a₁=1，a₂=λS₁+1=λ+1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為λ+1的等比數(shù)列，
∴${a_3}={（λ+1）^2}$，
由a₁、2a₂、a₃+3成等差數(shù)列
∴4（λ+1）=1+（λ+1）²+3，整理得λ²-2λ+1=0，得λ=1，
∴${a_n}={2^{n-1}}$，n∈N*；
（Ⅱ）${b_n}=n{a_n}=n•{2^{n-1}}$，
∴${T_n}=1•1+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，①
∴$2{T_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+…+（n-1）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$，②
①-②得$-{T_n}=1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}-n•{2^n}$=$\frac{{1•（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^n}$，
整理得${T_n}=（n-1）•{2^n}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．