Question

10．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x，g（x）=$\frac{1}{2}f（x+\frac{5π}{12}）+ax+b$，其中a，b為非零實(shí)常數(shù)．
（1）如何由f（x）的圖象得到函數(shù)y=2sin2x的圖象？
（2）若f（α）=1-$\sqrt{3}$，$α∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$，求α的值．
（3）若x∈R，討論g（x）的奇偶性（只寫結(jié)論，不用證明）．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)已知解析式可得f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可得解．
（2）由已知可得sin（2$α+\frac{π}{6}$）的值，由角α的范圍，可求2$α+\frac{π}{6}$的范圍，從而可求α的值．
（3）由已知可求$g（x）=ax-sin2x+b+\frac{1}{2}$，分b=$-\frac{1}{2}$，或$≠-\frac{1}{2}$兩種情況由奇偶性的定義即可討論g（x）的奇偶性．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）∵由已知$f（x）=2co{s^2}x+\sqrt{3}sin2x=1+2sin（2x+\frac{π}{6}）$，….1分
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1$\stackrel{向右平移\frac{π}{12}個(gè)單位}{→}$f（x）=2sin2x+1$\stackrel{向下平移1個(gè)單位}{→}$f（x）=2sin2x．…3分
（2）由$1+2sin（{2α+\frac{π}{6}}）=1-\sqrt{3}得sin（{2α+\frac{π}{6}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$….4分
∵$-\frac{π}{3}≤α≤\frac{π}{3}，-\frac{π}{2}≤2α+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$…5分
∴$2α+\frac{π}{6}=-\frac{π}{3}，α=-\frac{π}{4}$…7分
（3）由已知，得$g（x）=ax-sin2x+b+\frac{1}{2}$，…10分
$當(dāng)b=-\frac{1}{2}時(shí)，對(duì)于任意的x∈R，總有g(shù)（-x）=-ax-sin（-2x）=-（ax-sin2x）=-g（x）$
∴g（x）是奇函數(shù)….11分
$當(dāng)b≠-\frac{1}{2}時(shí)$，
∵g（-x）≠-g（x）且g（-x）≠g（x）
∴g（x）既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．….12分
（沒有證明不扣分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．