（2009•黃岡模擬）如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E、F分別為PA、PD的中點．在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：
①直線BE與直線CF異面；
②直線BE與直線AF異面；
③直線EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD．
其中正確的命題的個數(shù)是
2
2
個．
分析：①根據(jù)三角形的中位線定理可得四邊形EFBC是平面四邊形，直線BE與直線CF共面；
②由異面直線的定義即可得出；
③由線面平行的判定定理即可得出；
④可舉出反例．
解答：解：由展開圖恢復原幾何體如圖所示：
①在△PAD中，由PE=EA，PF=FD，根據(jù)三角形的中位線定理可得EF∥AD，
又∵AD∥BC，∴EF∥BC，
因此四邊形EFBC是平面四邊形，故直線BE與直線CF不是異面直線，所以①不正確；
②由點A不在平面EFCB內(nèi)，直線BE不經(jīng)過點F，根據(jù)異面直線的定義可知：直線BE與直線AF異面，所以②正確；
③由①可知：EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴直線EF∥平面PBC，故③正確；
④如圖：假設平面BCEF⊥平面PAD．
過點P作PO⊥EF分別交EF、AD于點O、N，在BC上取一點M，連接PM、OM、MN，
∴PO⊥OM，又PO=ON，∴PM=MN．
若PM≠MN時，必然平面BCEF與平面PAD不垂直．
故④不一定成立．
綜上可知：只有②③正確，即正確的命題的個數(shù)是2．
故答案為2．
點評：正確理解線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理和異面直線的定義是解題的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）某地正處于地震帶上，預計20年后該地將發(fā)生地震．當?shù)貨Q定重新選址建設新城區(qū)，同時對舊城區(qū)進行拆除．已知舊城區(qū)的住房總面積為64am2，每年拆除的數(shù)量相同；新城區(qū)計劃用十年建成，第一年建設住房面積2am2，開始幾年每年以100%的增長率建設新住房，然后從第五年開始，每年都比上一年減少2am2．
（1）若10年后該地新、舊城區(qū)的住房總面積正好比目前翻一番，則每年舊城區(qū)拆除的住房面積是多少m2？
（2）設第n（1≤n≤10且n∈N）年新城區(qū)的住房總面積為Snm2，求Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足：
①對x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）
②f（-5）=-1；
③當x1，x2∈[0，3]且x1≠x2時，都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
＞0則
（1）f（2009）=
-1
-1
；
（2）若方程f（x）=0在區(qū)間[a，6-a]上恰有3個不同實根，實數(shù)a的取值范圍是
（-9，-3]
（-9，-3]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）已知函數(shù)f(x)=
1-x2
1+x+x2
(x∈R)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0對滿足|x|≤1的任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)t的取值范圍（這里e是自然對數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅲ）求證：對任意正數(shù)a、b、λ、μ，恒有f[(
λa+μb
λ+μ
)2]-f(
λa2+μb2
λ+μ
)≥(
λa+μb
λ+μ
)2-
λa2+μb2
λ+μ
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）四個大小相同的小球分別標有數(shù)字1、1、2、2，把它們放在一個盒子里，從中任意摸出兩個小球，它們所標有的數(shù)字分別為x，y，記ξ=x+y．
（1）求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望；
（2）設“函數(shù)f（x）=x2-ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

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