Question

（2009•黃岡模擬）某地正處于地震帶上，預(yù)計(jì)20年后該地將發(fā)生地震．當(dāng)?shù)貨Q定重新選址建設(shè)新城區(qū)，同時(shí)對舊城區(qū)進(jìn)行拆除．已知舊城區(qū)的住房總面積為64am²，每年拆除的數(shù)量相同；新城區(qū)計(jì)劃用十年建成，第一年建設(shè)住房面積2am²，開始幾年每年以100%的增長率建設(shè)新住房，然后從第五年開始，每年都比上一年減少2am²．
（1）若10年后該地新、舊城區(qū)的住房總面積正好比目前翻一番，則每年舊城區(qū)拆除的住房面積是多少m²？
（2）設(shè)第n（1≤n≤10且n∈N）年新城區(qū)的住房總面積為S_nm²，求S_n．

Answer 1

分析：（1）10年后新城區(qū)的住房總面積為2a+4a+8a+16a+14a+12a+10a+8a+6a+4a=84a．設(shè)每年舊城區(qū)拆除的數(shù)量是x，則84a+（64a-10x）=2×64a，由此能求出每年舊城區(qū)拆除的住房面積．
（2）設(shè)第n年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為a_n，則an=

2na(1≤n≤4) 2(12-n)a(5≤n≤10).

所以當(dāng)1≤n≤4時(shí)，S_n=2（2ⁿ-1）a；
當(dāng)5≤n≤10時(shí)，S_n=2a+4a+8a+16a+14a+…+2（12-n）a=30a+

(n-4)(38-2n)a

2

=（23n-n²-46）a．由此能求出S_n．

解答：解：（1）10年后新城區(qū)的住房總面積為2a+4a+8a+16a+14a+12a+10a+8a+6a+4a=84a．
設(shè)每年舊城區(qū)拆除的數(shù)量是x，
則84a+（64a-10x）=2×64a，
解得x=2a，
即每年舊城區(qū)拆除的住房面積是2am²．
（2）設(shè)第n年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為a_n，
則an=

2na(1≤n≤4) 2(12-n)a(5≤n≤10).

所以當(dāng)1≤n≤4時(shí)，
S_n=2（2ⁿ-1）a；
當(dāng)5≤n≤10時(shí)，
S_n=2a+4a+8a+16a+14a+…+2（12-n）a
=30a+

(n-4)(38-2n)a

2

=（23n-n²-46）a．
故Sn=

2(2n-1)a(1≤n≤4) (23n-n2-46)a(5≤n≤10).

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．