Question

7．已知不論b取何實(shí)數(shù)，直線y=kx+b與雙曲線x²-2y²=1總有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 將y=kx+b代入x²-2y²=1，得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-1=0．（*），方程（*）對(duì)b∈R恒有解，可得△≥0，即可求得k的取值范圍

解答 解：將y=kx+b代入x²-2y²=1，得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-1=0．（*）
當(dāng)1-2k²=0即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，4kbx+2b²+1=0不能使任意b∈R都有解．
∴1-2k²≠0．
∵方程（*）對(duì)b∈R恒有解，∴△≥0，
即16k²b²+4（1-2k²）（2b²-1）≥0恒成立，
即8k²≤8b²+4恒成立，
∴8k²≤4，∴k²≤$\frac{1}{2}$．
又k²≠$\frac{1}{2}$，∴k²＜$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．