Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+a+1（a＞0），g（x）=bx³-2bx²+bx-$\frac{4}{27}$（b＞1），則函數(shù)y=g（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 個(gè)．

Answer 1

分析 求導(dǎo)，確定g（x）在（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分別有零點(diǎn)，f（x）=ax²-2ax+a+1=a（x-1）²+1≥1，可得f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上無根，在（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分別有兩個(gè)根，即可得出y=g[f（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：∵g（x）=bx³-2bx²+bx-$\frac{4}{27}$，∴g′（x）=b（3x-1）（x-1）
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，$\frac{1}{3}$），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{1}{3}$，1），
∵g（0）g（$\frac{1}{3}$）＜0，g（$\frac{1}{3}$）g（1）＜0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，1），（1，+∞）上分別有零點(diǎn)，
∵f（x）=ax²-2ax+a+1=a（x-1）²+1≥1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{3}$，1）上無根，在 （1，+∞）上分別有兩個(gè)根，
∴y=g[f（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．