Question

已知函數(shù)f（x）=cos²（x-

π

6

）-sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間和對(duì)稱軸方程；
（2）若對(duì)于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用和差化積公式變形為一個(gè)角的余弦函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的遞減區(qū)間及對(duì)稱軸即可確定出f（x）的遞減區(qū)間及對(duì)稱軸；
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的定義域與值域求出f（x）的最大值，對(duì)于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，可得出c大于等于f（x）的最大值，即可確定出c的范圍．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

[1+cos（2x-

π

3

）-（1-cos2x）]=

1

2

[cos（2x-

π

3

）+cos2x]=cos

π

6

cos（2x-

π

6

）=

3

2

cos（2x-

π

6

），
令2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+π，k∈Z，
解得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z；令2x-

π

6

=kπ，k∈Z，
解得：x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；
對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z；
（2）∵-1≤cos（2x-

π

6

）≤1，
即-

3

2

≤

3

2

cos（2x-

π

6

）≤

3

2

，
∴f（x）_max=

3

2

，
由對(duì)于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，
得到c≥f（x）_max=

3

2

，
則c的取值范圍是[

3

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．