Question

1．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a_n，a_n+1是函數(shù)f（x）=x²-b_nx+2ⁿ的兩個(gè)零點(diǎn)，且a₁=1，則b₁₀=（　　）

• A． 24
• B． 32
• C． 48
• D． 64

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a_n，a_n+1是函數(shù)f（x）=x²-b_nx+2ⁿ的兩個(gè)零點(diǎn)，可得a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=2ⁿ．于是$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，因此數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，公比為2．即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a_n，a_n+1是函數(shù)f（x）=x²-b_nx+2ⁿ的兩個(gè)零點(diǎn)，
∴a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=2ⁿ．
∵a₁=1，∴a₂=2．
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=2，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，公比為2．
∴a₁₀=2×2^5-1=32，a₁₁=1×2^6-1=32．
∴b₁₀=32+32=64．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．