Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由題意得：

f′(2)=0 f(2)=8

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3（x²-a）（a＞0），
令f'（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為：(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)
令f'（x）＜0，得-

a

＜x＜

a

，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為：(-

a

，

a

)；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，
∴

f′(2)=0 f(2)=8

⇒

3(4-a)=0 8-6a+b=8

⇒

a=4 b=24

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線方程，本題屬于中檔題．