Question

設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+2x+a，若f（x）≤a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以利用函數(shù)當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+2x+a，得到當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的函數(shù)值的取值范圍，再利用y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，得到y(tǒng)=f（x）在（0，+∞）上函數(shù)值的取值范圍，f（x）≤a+1對(duì)一切x≥0成立，得到關(guān)于a的不等關(guān)系，解不等式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0．
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+2x+a，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²+2（-x）+a]=-x²+2x-a，
f（x）=-（x-1）²+1-a≤1-a．
∵f（x）≤a+1對(duì)一切x≥0成立，
∴a+1≥0，且1-a≤1+a，
∴a≥0．
故答案為：[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)解析式以及函數(shù)的值域，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．