Question

19．同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，設(shè)函數(shù)f（x）=（a-b）x²+bx+1．
（1）求f（x）為偶函數(shù)的概率；
（2）求f（x）在$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)b不是0，得到f（x）為偶函數(shù)是不可能事件，求出概率即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到b＜a≤2b，求出使得f（x）在[-$\frac{1}{2}$，+∞）遞增的數(shù)對(duì)是6+9=15個(gè)，從而求出滿足條件的概率即可．

解答 解：（1）若f（x）為偶函數(shù)，則b=0，
而b不可能是0，
故f（x）為偶函數(shù)是不可能事件，
∴P（f（x）是偶函數(shù)）=0；
（2）同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，產(chǎn)生的對(duì)數(shù)（a，b）共有36個(gè)，
f（x）在[-$\frac{1}{2}$，+∞）上遞增的必要條件是a≥b，
若a=b，則f（x）=bx+1，在R遞增，此時(shí)滿足條件的數(shù)對(duì)有6個(gè)，
若a＞b，要使f（x）在[-$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
則$\frac{-2（a-b）}$≤-$\frac{1}{2}$推出a≤2b，故b＜a≤2b，
此時(shí)滿足要求的數(shù)對(duì)有（2，1），（3，2），（4，2），（4，3），
（5，3），（5，4），（6，3），（6，4），（6，5）共9個(gè)，
故使得f（x）在[-$\frac{1}{2}$，+∞）遞增的數(shù)對(duì)是6+9=15個(gè)，
根據(jù)古典概型公式得：P（f（x）在$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增）=$\frac{15}{36}$=$\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問(wèn)題，考查古典概型問(wèn)題，是一道中檔題．